Federico Gallo,
Alberto Gambalonga,
Cristian Medè,

L'apparato comprende due corde musicali uguali, delle quali è possibile variare la lunghezza e la tensione, per indagare come la frequenza della nota prodotta dipenda da queste grandezze. Le prime leggi tramandate sul fenomeno risalgono a Pitagora.

L'apparato comprende due corde musicali uguali, in acciaio armonico, delle quali è possibile variare la lunghezza (80, 40, 20, 10 centimetri) e la forza di tensione, per indagare come la frequenza della nota prodotta dipenda da queste grandezze. Alcuni pesi, uguali fra loro, si appendono alle corde per metterle in tensione.

• Lascia un solo peso all'estremità di ciascuna delle due corde, per dare loro la stessa tensione. Suona le corde con la penna: esse danno la stessa nota. Prova a dimezzare la lunghezza, bloccando una corda sul tasto 1 con un dito della mano sinistra, e suona con la penna la mezza corda di destra: ora la nota prodotta dalla corda è un'ottava sopra l'altra. Questo significa che la frequenza è raddoppiata e dunque che la frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda.
• Se blocchi la corda sul tasto 2 la lunghezza diventa ancora metà, cioè un quarto della corda intera e la frequenza raddoppia ancora.
• Appendi un altro peso (due in tutto) alla corda A. La nota prodotta è più alta, ma non coincide con quella prodotta dalla corda B sul tasto 1.
• Per ottenere la stessa nota bisogna ancora raddoppiare la tensione: appendi altri due pesi (quattro in tutto) e suona. Ciò significa che la frequenza raddoppia se si quadruplica la tensione della corda. Ascolta anche le note prodotte sui tasti 2 e 3: ognuno dimezza la lunghezza.

Un giorno Pitagora (VI° secolo a. C.), passando davanti alla bottega di un fabbro, si accorse che il suono dei martelli battuti sulle incudini era a volte armonico, altre disarmonico. Incuriosito dal fenomeno, scoprì che la nota prodotta era legata al peso dei martelli e che il suono era armonico quando c'erano precisi rapporti di peso.

Pitagora cercò se regole analoghe esistevano per i suoni prodotti da vasi riempiti con acqua o corde musicali. Scoprì così che la frequenza del suono prodotto da una corda in tensione è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda e direttamente proporzionale alla tensione.

Queste due leggi furono tramandate per secoli senza che nessuno si preoccupasse di verificarle: l'esperimento era stato fatto da Pitagora e c'era da fidarsi.

Duemila anni più tardi l'esperimento fu ripetuto da Vincenzo Galilei, padre di Galileo, il quale si accorse che Pitagora aveva sbagliato. È vero che per raddoppiare la frequenza bisogna dimezzare la lunghezza, ma è falso che si può anche raddoppiare la tensione: bisogna infatti quadruplicarla, come si verifica facilmente nel nostro esperimento.

Nel secolo successivo Newton scoprì la legge di gravitazione, in cui la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, proprio come la tensione della corda è proporzionale al quadrato della frequenza, che è inversamente proporzionale alla lunghezza. Così la sua legge sulla gravità era in perfetto accordo col modello di Pitagora, che considerava l'universo come una lira a sette corde suonata da Apollo: il sistema solare suonava la musica delle sfere celesti.

Verso la fine dello scorso anno scolastico, dopo che alcuni di noi della classe prima B erano stati alla mostra "Sperimentando 2005" con le classi seconde, il nostro professore ci ha raccontato la storia di questo esperimento e ci siamo chiesti: "Perché non portarlo alla mostra?".

Sarebbe stato più facile per noi portare un esperimento che riguardasse la dinamica, che implicava la conoscenza degli studi fatti dall'inizio del primo anno e molto approfonditi.

La motivazione di aver scelto questo esperimento è stata la curiosità di approfondire un argomento nuovo: "La legge dei suoni prodotti dalle corde musicali", basandoci sugli studi di Pitagora e Vincenzo Galilei.

Volevamo proporre un'esperienza che non parlasse delle solite cose elementari della fisica, ma di una legge non da tutti conosciuta e che potesse suscitare molto interesse, insieme con un apparato sul quale venisse voglia di "mettere le mani".

Un problema che noi abbiamo, però, è che abitiamo lontano da Padova e moltissimi di noi anche da Este, quindi non possiamo essere presenti alla mostra per seguire l'esperimento e ci serve qualcosa che funzioni per tutto il periodo senza che si rompa facilmente. Questo esperimento è stato costruito con il professore che aveva già alcuni pezzi avanzati dagli anni scorsi e che ha contribuito anche nel darci consigli e spiegazioni di vari concetti stimolando in noi studenti la voglia di apprendere un argomento a cui non avremmo accennato durante l'anno scolastico.

Tutto il materiale è stato montato sopra una tavola di legno. In essa sono stati annessi quattro tasti, posti ognuno rispettivamente a 80 cm, 40 cm, 20 cm e 10 cm dal ponte in cui le corde sono bloccate, questo per dimezzare ogni volta la lunghezza. Le corde sono attaccate ad un pezzo di legno della tavola tramite un gancetto ed un morsetto per evitare che esse si sciolgano e anche i pesi nell'altra estremità della corda sono sempre attaccati per mezzo di gancetto-morsetto. Sono presenti anche due carrucole; questo perché quando vengono aggiunti pesi le corde non subiscano attrito.

In principio abbiamo usato dei fili di nailon e in fibra di carbonio che suonano meglio e con meno pesi (perché sono più leggeri); succede però che questi fili si allungano molto quando si tirano; questo non è importante negli strumenti musicali ma per noi sì, perché vogliamo che la massa della corda resti costante; se la corda si allunga aggiungendo pesi, la massa della parte di corda che suona diminuisce.

Così il professore ha cercato del filo di acciaio armonico che doveva essere molto sottile per non usare pesi di molti chilogrammi (quello più grosso si trova facilmente nei negozi di ferramenta). Alla fine abbiamo questo filo con diametro di 0.2 mm che suona una nota appena un po' più alta di un la con i pesi di circa otto etti trovati da un grossista di metalli. I pesi sono delle sfere di ferro forgiate, scelte in modo da avere masse vicine tra loro, che sono state forate e filettate con il tornio da un tecnico della nostra officina macchine utensili e che sono stati coperti prima con un antiruggine e poi con smalto acrilico di colore blu cielo (RAL 5015).

Il maggior problema per la durata del nostro esperimento alla mostra ci sembra sia il sottile filo usato perché potrebbe rompersi se è tirato troppo. Speriamo che le persone che seguiranno la mostra siano così gentili da sostituire la corda in questo caso sfortunato.

L'esperimento si esegue sopra una tavoletta di legno, dove all'estremità sinistra sono agganciate ad un supporto due corde di acciaio armonico, all'estremità destra le corde passano in due carrucole dove vari pesi vengono appesi all'estremità delle corde. Nella tavola si trovano anche dei tasti di legno che servono per dimezzare la lunghezza delle corde e una vera penna bianca d'oca, degna di Pitagora e Galilei, che certo non usavano pennette di plastica per far vibrare le corde, gentilmente fornitaci da un'oca del nostro professore di laboratorio.

Chi prova il nostro esperimento, dopo aver ascoltato che la frequenza sale (ma con la stessa nota) ogni volta che si dimezza la lunghezza, dovrà cercare di ottenere lo stesso suono della mezza corda con la corda intera e dei pesi che aumentano la tensione. Scoprirà che non basta raddoppiare la tensione (due pesi) ma che bisognerà quadruplicarla (quattro pesi).

È indispensabile ricordare che chi effettua la prova del nostro esperimento dovrà fidarsi del proprio orecchio poiché non abbiamo avuto la possibilità di portare un misuratore di frequenza, soprattutto per la difficoltà di usarlo, come ora spiegheremo. Si tratta però solo di riconoscere la stessa nota suonata da corde diverse, non di riconoscere la nota in modo assoluto e neppure in modo relativo (come un mi rispetto a un do).

Noi abbiamo già eseguito le prove e abbiamo riportato le misure in una tabella con i relativi grafici per facilitare la comprensione del fenomeno (al seguente punto "risultati sperimentali").

Queste prove sono state molto laboriose perché il suono delle corde si vede all'oscilloscopio molto confuso e pieno di armoniche. In principio abbiamo pensato di misurarlo col frequenzimetro digitale, ma a causa della strana onda, la frequenza che ci risultava era molto diversa da quella che ci aspettavamo. Il frequenzimetro digitale infatti conta i passaggi dell'onda per lo zero e ce ne sono molti in un periodo, a causa delle armoniche; lo smorzamento del suono confonde le cose ancora di più. Il periodo si può misurare direttamente sull'oscilloscopio, contando i quadretti, ma la misura non ha una buona precisione. Abbiamo allora provato ad usare un accordatore elettronico per chitarre che aveva uno dei tecnici della nostra scuola. Questo apparecchietto funziona molto bene ed è anche in grado di generare un suono come quello della chitarra che, visto all'oscilloscopio, assomiglia al nostro, ma è più semplice e regolare. Esso ha subito riconosciuto che le corde suonano un la un po' troppo alto, ma non dà maggiori informazioni sulle frequenze.

Il metodo che ha risolto il problema è stato quello di proiettare sull'oscilloscopio una seconda onda, prodotta da un generatore di segnali sinusoidali, insieme con quella che dovevamo misurare e sulla quale era regolato il "trigger" dell'oscilloscopio. Quando si mandano all'oscilloscopio due segnali con frequenze vicine, uno dei due sembra scorrere rispetto all'altro e quindi, quando le frequenze di entrambi erano uguali, si vedeva che la loro velocità sull'oscilloscopio combaciava, così ci siamo ricavati la frequenza da quella prodotta dal generatore di segnali, che ha un indicatore digitale.

Il suono è stato portato all'oscilloscopio usando un adattatore viva voce, fatto per usare i telefoni cellulari in auto, che si alimenta a 12 V con l'alimentatore che si vede nella fotografia. La ventosa con il microfono è stata pinzata alla tavola, cercando per tentativi la posizione migliore; l'uscita per l'auricolare è stata collegata all'oscilloscopio con un apposito cavetto.

Nella tabella, come si può vedere, sono riportate le frequenze che si misurano cambiando la tensione e la lunghezza delle corde. Nel primo grafico che abbiamo riportato, quello tra lunghezza della corda e frequenza, si può notare la proporzionalità inversa delle due grandezze, più evidente dal secondo grafico che riporta sempre la lunghezza della corda e il reciproco della frequenza, cioè il periodo, e viene quindi una retta passante per l'origine.

Nel terzo grafico, quello tra frequenza e numero di pesi, ci risulta piuttosto un arco di parabola, caratteristico di una relazione di proporzionalità col quadrato; infatti, nel quarto grafico, per verificare questa possibilità, abbiamo elevato la frequenza al quadrato e ci sono risultate le misure allineate, confermando quindi che il grafico precedente è un arco di parabola.

Questo metodo di cambiare le grandezze nei grafici per farli diventare delle rette, lo avevamo usato negli esperimenti dell'anno scorso e precisamente nel "moto di un corpo soggetto a una forza costante" il grafico fra spazio e tempo al quadrato viene una retta e nel "secondo principio della dinamica con forza costante e massa variabile" si vede una retta fra l'accelerazione misurata e il reciproco della massa. Ora questi trucchi imparati l'anno scorso sono venuti molto utili.

I prossimi due grafici mostrano come la frequenza dipende dalla lunghezza della corda. Il grafico a destra presenta, in ordinate, il reciproco della frequenza, cioè il periodo, in modo da mettere in evidenza la proporzionalità inversa fra frequenza e lunghezza.

I grafici che seguono mostrano invece come la frequenza dipende dalla tensione della corda (numero di pesi). Il grafico a destra presenta, in ordinate, il quadrato della frequenza, in modo da mettere in evidenza la proporzionalità diretta fra quadrato della frequenza e tensione.

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1. L'apparato dell'esperimento.
2. L'apparato collegato all'oscilloscopio per misurare le frequenze, nel nostro laboratorio di fisica.

Proponiamo i seguenti documenti che riguardano il nostro esperimento e, in generale, lo studio dell'acustica delle corde musicali.